Nombres mystères avec facteurs 2 et 3 - Corrigé

Énoncé

Un entier $n$ s'écrit $2^a{3}^b$ avec $(a;b)\in {\mathbb{N}}^2$ . De plus, $36n$ a trois fois plus de diviseurs que $n$ .

1. Montrer que $ab=3$ .

2. En déduire les valeurs possibles pour $n$ .

Solution

1. L'entier $n$ possède $(a+1)(b+1)$ diviseurs.
On a :  $36n=36\times 2^a\times 3^b=2^2\times 3^2\times 2^a\times 3^b=2^{a+2}\times 3^{b+2}$  donc l'entier $36n$ possède $(a+3)(b+3)$ diviseurs.
De plus, on sait que $36n$ a trois fois plus de diviseurs que $n$ , c'est-à-dire
$\begin{array}{rl}(a+3)(b+3)=3(a+1)(b+1)& ⟺ab+3a+3b+9=3(ab+a+b+1)\\ & ⟺ab+3a+3b+9=3ab+3a+3b+3\\ & ⟺2ab=6\end{array}$  
et donc $ab=3$ .

2. Comme $a$ et $b$ sont des diviseurs positifs de $3$ avec $ab=3$ , on a deux situations :

• soit $a=1$ et $b=3$ , et alors $n=2^1\times 3^3=54$ ;
• soit $a=3$ et $b=1$ , et alors $n=2^3\times 3^1=24$ .

L'entier $n$ peut donc valoir $24$ ou $54$ .