Nombres mystères avec facteurs 2 et 3 - Corrigé

Énoncé

Un entier \(n\) s'écrit \(2^a3^b\) avec \((a;b) \in \mathbb{N}^2\) . De plus, \(36n\) a trois fois plus de diviseurs que \(n\) .

1. Montrer que \(ab=3\) .

2. En déduire les valeurs possibles pour \(n\) .

Solution

1. L'entier \(n\) possède \((a+1)(b+1)\) diviseurs.
On a :  \(36n=36 \times 2^a \times 3^b=2^2 \times 3^2 \times 2^a \times 3^b=2^{a+2} \times 3^{b+2}\)  donc l'entier \(36n\) possède \((a+3)(b+3)\) diviseurs.
De plus, on sait que \(36n\) a trois fois plus de diviseurs que \(n\) , c'est-à-dire
\(\begin{align*}(a+3)(b+3)=3(a+1)(b+1)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ ab+3a+3b+9=3(ab+a+b+1)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ ab+3a+3b+9=3ab+3a+3b+3\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2ab=6\end{align*}\)  
et donc \(ab=3\) .

2. Comme \(a\) et \(b\) sont des diviseurs positifs de \(3\) avec \(ab=3\) , on a deux situations :

• soit \(a=1\) et \(b=3\) , et alors \(n=2^1 \times 3^3=54\) ;
• soit \(a=3\) et \(b=1\) , et alors \(n=2^3 \times 3^1=24\) .

L'entier \(n\) peut donc valoir \(24\) ou \(54\) .